Graad 9 Wiskunde Studiegids

Graad 9 is die laaste jaar van die Senior Fase. Voordat jy dieper algebra en meetkunde aanpak, maak hierdie hoofstuk seker dat jou getallefondament rotsvas is - en dan laat ons daardie getalle werk waar dit die meeste saak maak: geld. Jy hersien die eienskappe van telgetalle, gebruik priemfaktore om die GGF en KGV te bepaal, werk met verhouding, koers en eweredigheid, en los finansiële probleme op oor wins, afslag, BTW, rente, huurkoop en wisselkoerse.

1.1 Eienskappe van telgetalle

Die eienskappe hieronder is die reëls wat jou toelaat om 'n berekening in 'n makliker vorm te rangskik. In Graad 9 moet jy hulle op die naam ken en hulle ook in algebra herken.

• Kommutatiewe eienskap: die volgorde van die getalle verander nie die antwoord by optelling en vermenigvuldiging nie. 8 + 5 = 5 + 8 en 4 × 7 = 7 × 4. Aftrekking en deling is nie kommutatief nie: 10 - 4 ≠ 4 - 10.
• Assosiatiewe eienskap: die groepering van die getalle verander nie die antwoord by optelling en vermenigvuldiging nie: (25 × 4) × 7 = 25 × (4 × 7) = 100 × 7 = 700.
• Distributiewe eienskap: vermenigvuldiging versprei oor optelling en aftrekking: a(b + c) = ab + ac. Byvoorbeeld 7 × 103 = 7 × (100 + 3) = 700 + 21 = 721.
• Identiteitselemente: 0 is die identiteitselement vir optelling (12 + 0 = 12) en 1 is die identiteitselement vir vermenigvuldiging (12 × 1 = 12). Enige getal maal 0 gee 0, en deling deur 0 is ongedefinieer.

1.2 Veelvoude, faktore, GGF en KGV

'n Veelvoud van 'n getal is die antwoord wat jy kry as jy dit met 'n telgetal vermenigvuldig. 'n Faktor deel presies in 'n getal in, sonder 'n res. Elke telgetal groter as 1 kan op presies een manier as 'n produk van priemfaktore geskryf word. Gebruik die leermetode: deel herhaaldelik deur die kleinste priemgetal wat werk.

84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7   en   126 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 3² × 7

• GGF (grootste gemene faktor): vermenigvuldig die priemfaktore wat die getalle deel, elkeen teen sy laagste mag. GGF van 84 en 126 = 2 × 3 × 7 = 42.
• KGV (kleinste gemene veelvoud): vermenigvuldig al die priemfaktore wat voorkom, elkeen teen sy hoogste mag. KGV van 84 en 126 = 2² × 3² × 7 = 252.

Vinnige kontrole: GGF × KGV = 42 × 252 = 10 584, en 84 × 126 = 10 584. Die produk van twee getalle is altyd gelyk aan die produk van hulle GGF en KGV.

1.3 Verhouding, koers en eweredigheid

'n Verhouding vergelyk hoeveelhede wat in dieselfde eenheid gemeet word; die verhouding self het geen eenheid nie. Vereenvoudig 'n verhouding net soos 'n breuk: 24 : 36 = 2 : 3. 'n Koers vergelyk hoeveelhede met verskillende eenhede, soos km/h of rand per kilogram.

Direkte eweredigheid: as die een hoeveelheid verdubbel, verdubbel die ander een ook. As 3 kg appels R54 kos, kos 5 kg (54 ÷ 3) × 5 = R90.

Indirekte (omgekeerde) eweredigheid: as die een hoeveelheid toeneem, neem die ander een af sodat die produk konstant bly. As 6 werkers 'n saal in 10 dae kan verf, is die hele taak 6 × 10 = 60 werkerdae. Met net 4 werkers neem dit 60 ÷ 4 = 15 dae.

1.4 Persentasies en geld: wins, verlies, afslag en BTW

'n Besigheid koop voorraad teen 'n kosprys en verkoop dit teen 'n verkoopprys. Wins = verkoopprys - kosprys. As die verkoopprys laer is, maak die besigheid 'n verlies. Persentasie wins of verlies word altyd op die kosprys bereken.

Afslag is 'n vermindering op die merkprys. 20% afslag op R880 beteken jy betaal 80% van die prys: R880 × 0,80 = R704.

BTW (belasting op toegevoegde waarde) in Suid-Afrika is 15%. Om BTW by te voeg, vermenigvuldig met 1,15. Om BTW te verwyder, deel deur 1,15.

'n Skoolsak kos R460 sonder BTW: R460 × 1,15 = R529 met BTW. 'n Ketel kos R690 met BTW: R690 ÷ 1,15 = R600 sonder BTW.

1.5 Enkelvoudige rente

Rente is die prys van geld: die bank betaal jou rente as jy spaar, en jy betaal rente as jy leen. By enkelvoudige rente word die rente net op die oorspronklike bedrag (die hoofsom) bereken, dus is dit elke jaar dieselfde bedrag.

Formule: \( A = P(1 + i \times n) \) waar P die hoofsom is, i die jaarlikse rentekoers as 'n desimale getal, n die aantal jare en A die eindbedrag. Die rente alleen is P × i × n.

1.6 Saamgestelde rente

By saamgestelde rente word die rente wat jy verdien by die hoofsom gevoeg, en die volgende jaar verdien jy ook rente op die rente. Dit is hoe bankspaargeld, beleggings en die meeste lenings regtig werk, en dit is nuut in Graad 9.

Formule: \( A = P(1 + i)^{n} \)

Die grafiek wys R1 000 wat teen 10% per jaar belê word. Die twee metodes gee dieselfde bedrag na jaar 1, maar die saamgestelde stawe trek in jare 2 en 3 vorentoe omdat rente op rente verdien word.

1.7 Huurkoop en wisselkoerse

By huurkoop neem jy die goedere nou huis toe en betaal dit in maandelikse paaiemente af. Huurkoop kos altyd meer as die kontantprys, omdat enkelvoudige rente en fooie bygevoeg word. Vergelyk die totale huurkoopprys met die kontantprys voordat jy besluit.

'n Wisselkoers sê vir jou wat een eenheid van 'n buitelandse geldeenheid in rand kos. As 1 VSA-dollar = R18,50 ('n illustratiewe koers, nie die lewendige koers nie), sal 'n speletjie wat 120 dollar kos, 120 × 18,50 = R2 220 kos. 'n Swakker rand maak ingevoerde goedere duurder.

Samevatting

• Die kommutatiewe, assosiatiewe en distributiewe eienskappe laat jou toe om berekeninge te rangskik; deling deur 0 is ongedefinieer.
• GGF = die gedeelde priemfaktore teen hulle laagste magte; KGV = al die priemfaktore teen hulle hoogste magte.
• Verhoudings vergelyk dieselfde eenhede, koerse vergelyk verskillende eenhede, en by indirekte eweredigheid bly die produk van die twee hoeveelhede konstant.
• Persentasie wins word op die kosprys bereken. BTW is 15%: vermenigvuldig met 1,15 om dit by te voeg, deel deur 1,15 om dit te verwyder.
• Enkelvoudige rente groei net op die hoofsom: A = P(1 + i × n). Saamgestelde rente groei ook op die rente: A = P(1 + i)ⁿ.
• Die totale huurkoopprys = deposito + al die paaiemente; vergelyk dit altyd met die kontantprys.