Hoofstuk 1. Komplekse getalle GRATIS
1.1 Wat is 'n komplekse getal?
In vroeere grade kon ons nie die vierkantswortel van 'n negatiewe getal bereken nie, want geen reele getal in die kwadraat gee 'n negatiewe antwoord nie. Tegniese Wiskunde brei die getallestelsel uit deur die imaginere eenheid \( i \) in te voer, waar \( i = \sqrt{-1} \) en dus \( i^2 = -1 \). 'n Komplekse getal word geskryf in die vorm \( a + bi \), waar \( a \) die reele deel is en \( b \) die imaginere deel. Byvoorbeeld is \( 3 + 4i \) 'n komplekse getal met reele deel \( 3 \) en imaginere deel \( 4 \).
1.2 Optel, aftrek en vermenigvuldig
Ons hanteer \( i \) net soos 'n gewone veranderlike, maar vervang \( i^2 \) altyd met \( -1 \). Om op te tel of af te trek, kombineer ons die reele dele en die imaginere dele afsonderlik.
Voorbeeld 1: Bereken \( (2 + 3i) + (4 - 5i) \). Ons tel die reele dele: \( 2 + 4 = 6 \), en die imaginere dele: \( 3 - 5 = -2 \). Die antwoord is \( 6 - 2i \).
By vermenigvuldiging brei ons uit soos met hakies en vervang dan \( i^2 = -1 \). Byvoorbeeld: \( (2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i \).
1.3 Die komplekse toegevoegde
Die komplekse toegevoegde (konjugaat) van \( a + bi \) is \( a - bi \); ons verander net die teken van die imaginere deel. Ons skryf dit as \( \overline{z} \). Wanneer ons 'n komplekse getal met sy toegevoegde vermenigvuldig, kry ons altyd 'n reele getal: \( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \).
1.4 Deling
Om deur 'n komplekse getal te deel, vermenigvuldig ons die teller en die noemer met die toegevoegde van die noemer. So verdwyn die \( i \) uit die noemer.
Voorbeeld 2: Bereken \( \frac{2}{1 + i} \). Vermenigvuldig bo en onder met \( 1 - i \): \( \frac{2(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2 - 2i}{1 + 1} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i \).
1.5 Die Argand-diagram en modulus
Ons stel 'n komplekse getal voor as 'n punt op 'n Argand-diagram: die horisontale as is die reele as en die vertikale as is die imaginere as. Die getal \( 3 + 4i \) le by die punt \( (3;4) \). Die modulus is die afstand van die oorsprong tot daardie punt en word bereken met \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Vir \( 3 + 4i \) is \( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).
Onthou ook dat die magte van \( i \) in 'n siklus van vier herhaal: \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \) en \( i^4 = 1 \). Hierdie patroon help om enige mag van \( i \) vinnig te vereenvoudig.