Hoofstuk 1. Komplekse getalle: inleiding GRATIS
1.1 Wat is 'n komplekse getal?
In Graad 11 het jy reeds gesien dat sommige vergelykings, soos \( x^2 = -1 \), geen oplossing in die reele getalle het nie, want geen reele getal se kwadraat is negatief nie. Om hierdie probleem op te los, brei ons die getallestelsel uit met 'n nuwe getal wat ons die imaginere eenheid noem en met die letter \( i \) skryf.
Ons definieer \( i = \sqrt{-1} \), en daaruit volg die belangrikste eienskap: \( i^2 = -1 \). Met hierdie een reel kan ons nou die vierkantswortel van enige negatiewe getal skryf, byvoorbeeld \( \sqrt{-9} = \sqrt{9} \times \sqrt{-1} = 3i \).
1.2 Die vorm \( a+bi \)
'n Komplekse getal word geskryf in die standaardvorm \( a + bi \), waar \( a \) en \( b \) reele getalle is. Ons noem \( a \) die reele deel en \( b \) die imaginere deel. In \( 3 + 4i \) is die reele deel dus \( 3 \) en die imaginere deel \( 4 \). As \( b = 0 \) kry ons 'n gewone reele getal, en as \( a = 0 \) noem ons dit 'n suiwer imaginere getal.
1.3 Optel en aftrek
Om komplekse getalle op te tel of af te trek, werk ons net met gelyksoortige dele: die reele dele bymekaar en die imaginere dele bymekaar.
Voorbeeld 1: Bereken \( (2 + 5i) + (4 - 3i) \).
- Tel die reele dele: \( 2 + 4 = 6 \).
- Tel die imaginere dele: \( 5i + (-3i) = 2i \).
- Die antwoord is \( 6 + 2i \).
1.4 Vermenigvuldiging
Ons vermenigvuldig komplekse getalle net soos ons tweeterme in algebra uitvermenigvuldig, en dan vervang ons \( i^2 \) met \( -1 \).
Voorbeeld 2: Bereken \( (3 + 2i)(1 + 4i) \).
- Vermenigvuldig uit: \( 3 \times 1 + 3 \times 4i + 2i \times 1 + 2i \times 4i \).
- Dit gee \( 3 + 12i + 2i + 8i^2 \).
- Vervang \( i^2 = -1 \): \( 3 + 14i + 8(-1) = 3 + 14i - 8 \).
- Vereenvoudig: \( -5 + 14i \).
1.5 Magte van \( i \)
Die magte van \( i \) herhaal in 'n patroon van vier: \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = i^2 \times i = -i \), en \( i^4 = i^2 \times i^2 = (-1)(-1) = 1 \). Daarna begin die patroon weer van voor af. Om enige hoe mag van \( i \) uit te werk, deel jy die eksponent deur \( 4 \) en gebruik net die res.
Voorbeeld 3: Bereken \( i^{10} \). Deel \( 10 \) deur \( 4 \): die res is \( 2 \), dus \( i^{10} = i^2 = -1 \).
Komplekse getalle is nie net teoreties nie; hulle word in Tegniese Wiskunde gebruik om wisselstroom, golwe en trillings in elektriese en meganiese stelsels te beskryf.